The product of non-zero eigen values of the matrix is..... 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

Dear user,

Let, the given matrix be A.

1             0             0             0             1

0             1             1             1             0

A   =       0             1             1             1             0

0             1             1             1             0

1            0             0             0             1

To find eigen value,

Put, A    = (lambda) (I) ₅

=> A – (lambda) X (I) ₅ = 0

|1 0 0 0 1|                           |1 0 0 0 0|

|0 1 1 1 0|                           |0 1 0 0 0|

|0 1 1 1 0| - (X)     |0 0 1 0 0|  = 0

|0 1 1 1 0|                           |0 0 0 1 0|

|1 0 0 0 1|                           |0 0 0 0 1|

Thus,

1-X         0             0             0             1

0             1-X         1             1             0

0             1             1-X         1             0        = 0

0             1             1             1-X         0

1            0             0             0             1-X

Now, take determinant value

=> -x ⁵ + 5x ⁴ – 6x ³ = 0

=> -x ³ (x ² - 5x + 6) = 0

=> x ³ (x ² – 3x - 2x + 6) = 0

=> x ³ ((x - 3) -2(x - 3)) = 0

Thus,

=> x ³ (x-3)(x-2) = 0

=> x = 0, x = 3, x=2

Now, since x is not = 0 as per question

Thus, valid eigen values are: 2,3.