Correct Answer: $3$

Solution : $\frac{\sin A}{\cot A+\operatorname{cosec} A}-\frac{\sin A}{\cot A-\operatorname{cosec} A}+1$
$=\frac{\sin A}{\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}}-\frac{\sin A}{\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{1}{\sin A}}+1$
$=\frac{\sin^2 A}{\cos A+1}-\frac{\sin^2 A}{\cos A-1}+1$
$=\frac{\sin^2 A}{1+\cos A}+\frac{\sin^2 A}{1-\cos A}+1$
$=\sin^2 A[\frac{1}{1+\cos A}+\frac{1}{1-\cos A}]+1$
$=\sin^2 A[\frac{2}{1-\cos ^2A}]+1$
$=\sin^2 A[\frac{2}{\sin ^2A}]+1$
$=2+1$
$=3$
Hence, the correct answer is $3$.